Товарищ Бобер! Этимология вами указана верно. А вот про притяжательный падеж в современном русском (фактически утерянный) вы, согласитесь, тут впервые узнали. Правильно -- остров Татышев. На Татышевом острове. И так далее...
Происхождение названия острова вполне понятно — от татарского имени ТАТУШ. Возможно, однако, что подлинное имя князя имело несколько иную форму, как другие тюркские имена (Сатмыш, Балкыш, Чаныш), поэтому при образовании притяжательного прилагательного в имени появляется буква "ы" — остров (чей?) Татышев. В переводе с тюркского татыш значит ласковый, спокойный, мирный. Поэтому никто не прав.
Товарищ Боблер, вы глубоко неправы. Остров Татышев. Чей. Притяжательный падеж. Можете подойти к карте города и посмотреть, как оно там пишется. Поэтому правильно -- на острове Татышеве. Либо Татышевом.
В переводе с тюркского татыш значит ласковый, спокойный, мирный.
Поэтому никто не прав.